Ответ:
Обозначим:
A(i) — игрок выиграл i-ю партию (вероятность этого события p = 1/2). ~A(i) — игрок проиграл i-ю партию (вероятность этого события q = 1 — p = 1/2).
P(m,N) — событие «игрок выиграл m партий из N».
S(m,N) — событие «игрок выиграл не менее m партий из N». s(m,N) — вероятность события «игрок выиграл не менее m партий из N»
C(k,N) = [N!/k!(N-k)!]*p^k*q^(N-k) — вероятность k выигрышей и N-k проигрышей в N партиях для каждого из игроков. C(k,N) = [N!/k!(N-k)!]*(1/2)^N, т.к. в нашем случае p = q = 1/2.
p(m,N) — вероятность события «игрок выиграл m партий из N»: p(m,N) = C(m,N) = [N!/m!(N-m)!]*p^m*q^(N-m) = [N!/m!(N-m)!]*(1/2)^N
s(m,N) — вероятность события «игрок выиграл не менее m партий из N»: s(m,N) = p(m,N) + p(m+1,N) +…+ p(N,N).
а)
p(1,2) = [2!/(1!1!)]*(1/2)^2 = 2*(1/4) = 1/2
p(2,4) = [4!/2!(2)!]*(1/2)^4 = 6*(1/2)^4 = 3/8
Следовательно, p(1,2) > p(2,4)
Вероятность выигрыша одной партии из двух больше, чем вероятность выигрыша двух партий из четырех.
б)
s(2,4) = p(2,4) + p(3,4) + p(4,4) = 3/8 + 1/4 + 1/16 = 11/16
s(3,5) = p(3,5) + p(4,5) + p(5,5) = 10/32 + 5/32 +1/32 = 1/2
Следовательно, s(2,4) > s(3,5)
Вероятность выигрыша не менее двух партий из четырех больше, чем вероятность выигрыша не менее трех партий из пяти.