Две окружности, радиус одной из которых вдвое больше радиуса другой, касаются друг друга в точке C. К этим окружностям проведена общая внешняя касательная, касающаяся этих окружностей в точках A и B. Найдите сумму AB+BC, если радиус меньшей окружности равен корени из 3 умножить на разность двух и корня из двух — Правильный ответ на вопрос найдете ниже

Ответ: Пусть K и M — центры малой и большой окружностей соответственно. [tex]KA \perp AB, MB \perp AB[/tex]. КА = r, MB = 2r.Проведем прямую КТ, параллельную АВ, [tex]KT \perp MB[/tex].Из прямоугольного треугольника КТМ, где КМ = КС + СМ = r + 2r = 3rМТ = МВ — ТВ = 2r — r = r[tex]KT = \sqrt{KM^{2}-MT^{2}}=\sqrt{(3r)^{2} — r^{2}} = 2r\sqrt{2}[/tex].Значит, АВ = КТ = [tex]2r\sqrt{2}[/tex].Из треугольника КТМ [tex]cos \angle M = \frac{MT}{KM} = \frac{r}{3r} = \frac{1}{3}[/tex]Из треугольника СМВ, где СМ = МВ = 2r, по теореме косинусов[tex]BC^{2} = CM^{2}+ MB^{2}-2*CM*MB*cos \angle M[/tex][tex]BC^{2} = (2r)^{2}+ (2r)^{2}-2*2r*2r*\frac{1}{3}[/tex][tex]BC^{2} = 8r^{2} -\frac{8r^{2}}{3}[/tex][tex]BC^{2} = \frac{16r^{2}}{3}[/tex][tex]BC = \frac{4r}{\sqrt{3}}[/tex][tex]AB + BC = 2r\sqrt{2} + \frac{4r}{\sqrt{3}} = 2r(\sqrt{2}+\frac{2}{\sqrt{3}})= \frac{2r(\sqrt{6}+2)}{\sqrt{3}}[/tex]И если я правильно расшифровала вашу текстовую запись, что [tex]r = \sqrt{3}*(2-\sqrt{2})[/tex], то [tex]AB + BC = \frac{2*\sqrt{3}(2-\sqrt{2})(\sqrt{6}+2)}{\sqrt{3}}=4*(\sqrt{2}-1)(\sqrt{3}+\sqrt{2})[/tex]