Ответ:

1)В работе коллектива больницы обнаружились серьезныепороки.  Синоним употреблен неверно. Порок – это
нравственный или физический недостаток живых существ (человека или группы людей
). Устаревшее значение этого слова «изъян» в деловой речи, каковой является
приведенная фраза из отчета или доклада, недопустимо. 

В работе коллектива больницы обнаружились серьезныенедостатки.

2) Когда наступила зима, его демобилизовали на фронт. Неправильное употребление антонима.

Когда наступила зима, его демобилизовали
с фронта. 

Когда наступила зима, его мобилизовали на фронт. 

3) Чехов высмеивает людей с маленьким умом. Неправильное употребление синонима
и искажение фразеологического оборота.
 

Чехов высмеивает людей небольшого ума.

4) Природа приносит нам радость и пользу. В качестве
однородных членов выступают логически не сопоставимые понятия.
 Двойной союз «и…, и…» позволит связать разнородные понятия.

Природа приносит нам и радость, и пользу.

5) Мцыри хотел обрести волю и свободу. Избыточное употребление синонимов (плеоназм).
Достаточно одного. 

Мцыри хотел обрести волю. 

Мцыри хотел обрести свободу.

 6) Девушка облокотилась локтем на
перила
кресла. Облокотилась локтем – тавтология. Неправильное
употребление значения слова
. Перила – это ограда. У кресла – подлокотники или ручки.
Девушка оперлась на подлокотник кресла.  Девушка облокотилась
на ручку кресла.7) Отойдя  к окну, Наташа давала нам оттуда различные намёки. Искажение
фразеологизма
. Отойдя к окну, Наташа подавала нам оттуда
различные знаки.

 8) Его простые, идущие от сердца слова сыграли свое дело.  Смешение фразеологизмов. 

Его простые,
идущие от сердца слова сделали свое дело.  

Его простые, идущие от сердца слова сыграли
свою роль.

9) Политик воплощался в народном воображении в виде
образа богатыря — защитника униженных и
оскорблённых
. Неправильное употребление синонима. Плеоназм, использованный
Ф.М.Достоевским в названии романа, не вяжется с образом богатыря. 

Политик воплощался
в народном воображении в виде образа богатыря — защитника обиженных.