Ответ:
Немного неоднозначная задача, нужно найти кинетическую и потенциальную энергию, хотя не сказано с какого именно положения нужно вести отсчет времени. Я выберу это положение сам.
И еще вопрос, что понимается под амплитудой колебаний? Пусть это будет максимальной высотой подъема тела (#)
По закону сохранения энергии
[tex]mgh=mg*x(t)+mx'(t)^2*1/2[/tex] (*)
где
h — амплитуда, т.е. максимальная высота подъема качели
x(t) — высота качели как ф-я времени
x'(t) — соотв. скорость качели как ф-я времени
(таким образом в правой части имеем потенциальную и кинетическую энергии)
Поставим начальное условие x(0)=0, т.е. пусть в начальный момент времени человек находился в самой нижней точке с макс. кинетической энергией.
Решим ОДУ (*) методом разделения переменных, получим в качестве решения ф-ии
[tex]x(t)=-\frac{49}{10} t^2\pm \frac{7\sqrt{10} }{5} t[/tex]
из этих ф-ий выберем ту что с плюсом, т.к. именно ее производная при [tex]t>0[/tex] обращается в нуль, что соответствует моменту остановки качели по достижении макс высоты. Найдем когда именно скорость равна нулю:
[tex]x'(t)=-\frac {49\,t}{5}}+\frac{7\sqrt{10} }{5} =0[/tex]
отсюда
[tex]t=\frac{\sqrt{10} }{7}[/tex]
Стоит отметить, что это решение описывает движение качели лишь на интервале времени от 0 до половины периода. Но этого нам достаточно, ибо требуется найти энергии при t = 1/12 T (где T-период)
Таким образом значение [tex]T/4=\frac{\sqrt{10} }{7}[/tex] нам теперь известно. Тогда [tex]1/12*T=1/3*(1/4*T)=\frac{\sqrt{10} }{21}[/tex]
Значит качели в момент времени [tex]T/12[/tex] были на высоте [tex]x(\frac{\sqrt{10} }{21})=\frac{5}{9}[/tex]
Отсюда потенциальная энергия
[tex]U=mgx=80*9.8*5/9=435.6[/tex] (Дж)
И кинетическая энергия
[tex]mgh-mgx=80*9.8*4/9=348.4[/tex] (Дж)
(#) Задачу можно рассматривать и как задачу гармонического осциллятора, т.е. с потенциальной энергией вида [tex]U(x)=1/2*m\omega^2x^2[/tex] заместо типичной [tex]mgx[/tex] В этом случае данная в условии задачи частота будет использоваться (чтоб найти омега) В то же время решение ОДУ будет посложнее, функция сведется к тангенсу или чему-то подобному.
Как именно интерпретировать задачу зависит от интерпретации слова амплитуда. Я выбрал самый простой случай и что-то решил, вполне возможно совсем не то, что хотели бы видеть авторы задачи.