Ответ:
f(x) = x^3 — 6x^2 + 9x, на промежутке [-4; 0].
Сначала нужно найти точки экстремума функции, т.е. такие точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.
Найдем производную функции.
f’(x) = (x^3 — 6x^2 + 9x)’ = 3x^2 – 12x + 9.
Точки экстремума
f’ = 0:
3x^2 – 12x + 9= 0,
3 (x^2 – 4x + 3) = 0,
3 (х – 3) (х – 1) = 0,
x = 1,
x = 3.
Получим: х = 1 и x = 3 – точки экстремума функции.
При х < 1, f’ > 0, функция возрастает.
При 1 < х < 3, f’ < 0, функция убывает.
При х > 3, f’ > 0, функция возрастает.
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке достигается либо в точке экстремума, либо на концах отрезка.
Точки х = 1 и x = 3 не принадлежат промежутку [-4; 0], поэтому рассмотрим только значения функции на концах промежутка.
При х = -4, f (x) = (-4)^3 – 6 * (-4)^2 + 9 * (-4) = -64 – 96 – 36 = -196.
При х = 0, f (x) = 0^3 – 6 * 0^2 + 9 * 0 = 0.
Таким образом, fнаим = f (-4) = -196, fнаиб = f (0) = 0.
Ответ: fнаим = -196, fнаиб = 0.