Напишите общий вид первообразных для данных функций
1)  f(x)=cos^2  x/3  —  sin^2  x/3
2)  f(x)=sin x/4 * cos x/4
(все действия по порядку пожалуйста) — Правильный ответ на вопрос найдете ниже

Ответ:

первообразная- это обратное действие производной, то есть, интеграл.

1) [tex] f(x)=\cos^2\frac{x}{3} -\sin^2\frac{x}{3} =\cos\frac{2x}{3} [/tex] — применен косинус двойного угла.

Первообразная: [tex] F(x)=\displaystyle \int f(x)dx=\int \cos\frac{2x}{3} dx=\frac{3}{2} \sin\frac{2x}{3} +C [/tex]

2) Здесь можно решить двумя способами.

I способ. [tex] F(x)=\displaystyle \int \sin\frac{x}{4} \cos\frac{x}{4} dx=\int \sin \frac{x}{4} d\bigg(\int \cos\frac{x}{4}\bigg)=4\int \sin\frac{x}{4} d\bigg(\sin\frac{x}{4} \bigg)=\\ \\ =4\cdot\frac{\sin^2\frac{x}{4} }{2} +C=2\sin^2\frac{x}{4} +C [/tex]

II способ. В функции f(x) применить синус двойного угла.

[tex] F(x)=\displaystyle \int \frac{1}{2}\cdot 2\sin\frac{x}{4} \cos\frac{x}{4} dx=\frac{1}{2}\int\sin\frac{x}{2} dx=-\frac{1}{2}\cdot 2 \cos\frac{x}{2}+C =\\ \\ =-\cos\frac{x}{2} +C [/tex]

Во втором примере I и II способы оба решения верные, так как при проверке дифференцированием получаются одинаковые результаты. 

[tex](2\sin^2 \frac{x}{4} +C)’=2\cdot 2\sin\frac{x}{4} \cdot (\sin \frac{x}{4} )’=4\sin\frac{x}{4} \cos \frac{x}{4} \cdot(\frac{x}{4} )’=4\sin\frac{x}{4} \cos\frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} =\sin\frac{x}{4} \cos\frac{x}{4}[/tex]

[tex](-\cos\frac{x}{2}+C)’=\frac{1}{2}\sin\frac{x}{2}=\frac{1}{2}\cdot 2\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4}=\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4}[/tex]