Ответ:
Пусть (x₀;y₀) — точка касания. Так как точка (x₀;y₀) находится на параболе y=x², то точка имеет координаты (x₀;x²₀)
0 < x₀< 6
Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке (x₀;y₀) имеет вид:
y- f(x₀)=f`(x₀)(x-x₀)
f`(x)=2x
f`(x₀)=2x₀
y -x²₀ =2x₀(x-x₀)
y=2x₀x — x²₀ — уравнение касательной
Касательная пересекает ось Ох в точке A(x₀/2)
2x₀x — x²₀=0
x₀(2x — x₀)=0
х=x₀/2
Касательная пересекает прямую х=3 в точке B(3; 6x₀ — x²₀)
y=2x₀ 3 — x²₀
y = 6x₀ — x²₀
Пусть С(3;0)
BC=6x₀ — x²₀
AC=3-(x₀/2)
S_(Δ)=(1/2)AC*BC=(1/2)(3-(x₀/2))·(6x₀ — x²₀) — исследуем функцию на экстремум на [0;3]
Обозначим x₀=t
S(t)=(1/2)(3-(t/2))·(6t — t²)
S(t)=(1/4)(6-t)·(6t — t²)
S(t)=(1/4)*F(t)
F(t)=t(6-t)^2
S(t) принимает наибольшее значения в тех же точках, в каких и F(t)
Исследуем на [0;3]
F`(t)=t`·(6-t)²+t·((6-t)²)`=(6-t)²+t·2(6-t)·(6-t)`=(6-t)(6-t-2t)=(6-t)(6-3t)
F`(t)=0
6-t=0 ⇒ t=6 не принадлежит [0;3] или 6-3t=0 ⇒ t=2 принадлежит [0;3]
t=2 — точка максимума, производная меняет знак с + на —
О т в е т. S(2)=(1/4)(6-2)·(6·2 — 2²) ; S(2)=8 — наибольшее значение