Ответ: Область допустимых решений уравнения:[tex]sinx+cosx\ \textgreater \ 0[/tex]; Возведем в квадрат обе части уравнения. При возведении в квадрат могут получиться побочные решения, так как область допустимых решений после возведения в квадрат обеих частей уравнения расширяется (sinx+cosx<0).[tex] sin^{2}x+2sinxcosx+ cos^{2}x=2;
sin^{2}x+ cos^{2} x=1; 2sinxcosx=sin2x; [/tex]Тогда[tex]sin2x=1; 2x= \frac{ \pi }{2}+2 \pi n[/tex], n∈Z;Решение в общем виде:[tex]x= \frac{ \pi }{4}+ \pi n[/tex], n∈Z;На промежутке [tex][- \pi ; 2 \pi ][/tex]:[tex] x_{1}=- \frac{3}{4} \pi , x_{2}= \frac{ \pi }{4}, x_{3}= \frac{5}{4} \pi . [/tex]Однако при[tex] x_{1}= -\frac{3}{4} \pi, x_{3}= \frac{5}{4} \pi , sinx+cosx\ \textless \ 0; [/tex]Это решения уравнения, возведенного в квадрат, которые для исходного уравнения не подходят, т.к. область допустимых решений исходного уравнения sinx+cosx>0; Поэтому решение единственное [tex]x= \frac{ \pi }{4}. [/tex]
Источник znanija.site