Ответ:
При достижении поршнем максимальной скорости
[tex]Mg=P_{1}S[/tex]
[tex]P_{1}[/tex] — давление газа в момент достижения максимальной скорости
Для нахождения максимальной скорости распишем изменение кинетической энергии
(ее изменение — это работа всех сил, действующих на поршень)
[tex]\frac{1}{2}Mv^2=Mg(H-H_{1})+A[/tex]
[tex]H_{1}[/tex] — высота поршня при достижении максимальной скорости
A — это работа газа при уменьшении объема.
Высота поршня и объем газа пропорциональны:
[tex]\frac{H}{H_{1}}=\frac{V}{V_{1}}[/tex]
V₁ — объем в момент достижения макс. скорости
Тогда
[tex]\frac{1}{2}Mv^2=MgH(1-\frac{V_1}{V})+A[/tex]
Учитывая, что газ сжимается адиабатически, применяем уравнение Пуассона
[tex]PV^k=P_1V_1^k[/tex]
k=5/3 — для одноатомного газа
[tex]\frac{V_1}{V}=(\frac{P}{P_1})^{\frac{1}{k}}=(\frac{PS}{Mg})^\frac{1}{k}[/tex]
Работа газа при адиабатическом сжатии
[tex]A = \frac{PV}{k-1}(1-(\frac{V}{V_1})^{k-1})=\frac{3}{2}MgH(\frac{PS}{Mg})^\frac{3}{5}(1-(\frac{Mg}{PS})^\frac{2}{5})[/tex]
Полученное подставляем в уравнение для скорости и находим ее
[tex]v=\sqrt{2gH(1-\frac{5}{2}(\frac{PS}{Mg})^\frac{3}{5}+\frac{3}{2}\frac{PS}{Mg})}[/tex]