Ответ: Пусть дан треугольник ABC, AD – биссектриса, Поскольку по свойству биссектрисы, она делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам, то ВD : CD = АВ : АС. Обозначим длину отрезка ВD = х см, так как, по условию, AB = 4 см, АС = 8 см, ВС = 6 см, то CD = 6 – х, получим пропорцию: х : (6 – х) = 4 : 8; х = 2 (см); 6 – х = 6 – 2 = 4 (см) или ВD = 2 см; CD = 4 см. Чтобы найти отношение площадей S(ABC) : S(ABD), воспользуемся формулой Герона. Обозначим длины сторон треугольника ABC буквами a, b и c, полупериметр р = (a + b + c) : 2, р = (4 + 8 + 6) : 2 = 9 (см), тогда S(ABC)^2 = р(р — а)(р — b)(р — с), S(ABC)^2 = 9 ∙ 5 ∙ 1 ∙ 3 = 135. Найдём длину биссектрисы: АD^2 = АВ ∙ АС – ВD ∙ CD = 4 ∙ 8 – 2 ∙ 4 = 24; АD = (24)^(1/2).Для треугольника ABD обозначим длины сторон буквами a, m и d, тогда р2 = (a + m + d) : 2, р2 = (4 + (24)^(1/2) + 2) : 2, S(ABD)^2 = р2(р2 — а)(р2 — b)(р2 — d), S(ABD)^2 = 15. Получим, S(ABC) : S(ABD) = 3. Ответ: ВD = 2 см; CD = 4 см; S(ABC) : S(ABD) = 3.

Похожие вопросы и ответы: