Решить уравнение cos4x-cos2x = 0, указать корни, принадлежащие отрезку [П/2; 2П] — Правильный ответ на вопрос найдете ниже

Ответ:

cos4x — cos2x = 0. Представим 4х как (2 * 2х), получается уравнение cos(2 * 2x) — cos2x = 0.

Преобразуем выражение по формуле косинуса двойного угла:

2cos^2(2x) — 1 — cos2x = 0.

Введем новую переменную, пусть cos2x = а.

2а^2 — a — 1 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 2; b = -1; c = -1;

D = b^2 — 4ac; D = (-1)^2 — 4 * 2 * (-1) = 1 + 8  = 9 (√D = 3);

x = (-b ± √D)/2a;

а₁ = (1 — 3)/(2 * 2) = -2/4 = -1/2.

а₂ = (1 + 3)/4 = 4/4 = 1.

Возвращаемся к замене cos2x = а.

1) cos2x = -1/2, 2х = ±2П/3 + 2Пn (делим на 2), х = ±П/3 + Пn, n — целое число.

2) cos2x = 1; 2х = 2Пn, х = Пn, n — целое число.

При помощи числовой прямой или единичной окружности находим корни уравнения, принадлежащие промежутку [П/2; 2П]: П, 2П, 4П/3, 2П/3, 5П/3.