Ответ:
1. Точка К равноудалена от сторон квадрата, следовательно, она находится на перпендикуляре к плоскости квадрата АВСD, проходящем через точку О пересечения диагоналей квадрата. Диагональ квадрата АС равна а√2, ее половина АО равна а√2/2. Тогда из прямоугольного треугольника, образованного перпендикуляром КО, отрезком ОА (катеты) и отрезком КА (гипотенуза) по Пифагору найдем искомое расстояние от точки К до вершин квадрата:
КА=КВ=КС=КD = √(2a²+2a²/4) = √(10a²/4) = a²√10)/2.
2. Определение: «Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек или другими словами это две прямые в пространстве, не имеющие общих точек, и не являющиеся параллельными». Следовательно, прямые В1О и А1С1 являются скрещивающими по определению. Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся. Прямая АС параллельна прямой А1С1, так как это диагонали противоположных граней куба, лежащие в одной диагональной плоскости АА1С1С. Следовательно, угол между скрещивающимися прямыми В1О и А1С1 — это угол между пересекающимися прямыми В1О и АС. В квадрате АВСD диагонали АС и ВD взаимно перпендикулярны. Следовательно, прямые В1О и АС перпендикулярны по теореме о трех перпендикулярах, так как проекция ВО наклонной В1О перпендикулярна прямой АС. => Прямые В1О и А1С1 перпендикулярны, что и требовалось доказать.