Ответ:
Дано: (bn)… – геометрическая прогрессия;
b5 = -6; b7 = -54;
Найти: S6 — ?
Формула члена геометрической прогрессии:
bn = b1 * q^(n – 1),
где b1 – первый член геометрической прогрессии, q – её знаменатель, n – количество членов прогрессии.
С помощью этой формулы запишем пятый, шестой и седьмой члены заданной прогрессии:
b5 = b1 * q^(5 – 1) = b1 * q^4.
b6 = b1 * q^(6 – 1) = b1 * q^5;
b7 = b1 * q^(7 – 1) = b1 * q^6.
Т.о. имеем: b1 * q^4 = -6 и b1 * q^6 = -54.
Составим систему уравнений:
b1 * q^4 = -6, (1)
b1 * q^6 = -54 (2)
Из (1) уравнения выразим b1:
b1 = -6 : q^4.
Подставим полученное выражение во (2) уравнение системы:
-6 : q^4 * q^6 = -54;
-6 * q^2 = -54;
q^2 = 9;
q = ±3.
Исходя из того, что b5 и b7 члены прогрессии отрицательные, можем сделать вывод, что q>0, т.е. q = 3.
Теперь, подставим полученное значение q в выражение для нахождения b1:
b1 = -6 : q^4 = -6 : 3^4 = -6/81 = -2/27.
Вычислим b6: b6 = b1 * q^5 = -2/27 * 3^5 = -18.
Сумма первых n членов геометрической прогрессии находится по формуле:
Sn = (bn * q – b1) / (q – 1);
Значит, S6 = (b6 * q – b1) / (q – 1) = ((-18) * 3 – (-2/27)) / (3 – 1) = (-1456/27) / 2 = -728/27 = -26,(962).
Ответ: S6 = -26,(962).