Ответ:
Пусть у нас дана геометрическая прогрессия b(n): b1,b2…
Воспользуемся формулой для расчёта суммы n-первых членов геометрической прогрессии:
S(5) = b1(q⁵-1) / (q-1)
S(3) = b1(q³ — 1) / (q — 1)
По условию, S(5) — S(3) = 1.5, то есть
b1(q⁵-1) / (q-1) — b1(q³ — 1) / (q — 1) = (b1(q⁵-1) — b1(q³ — 1)) / (q-1) = b1(q⁵-1 — q³ + 1) / (q-1) = b1(q⁵ — q³) / (q-1) = 1.5
Теперь перейдём к другому условию. Выразим пятый и третий член через первый и знаменатель:
b3 = b1q²
b5 = b1q⁴
b5 = 4b3
b1q⁴ = 4b1q²
Таким образом, приходим к системе:
b1(q⁵ — q³) / (q-1) = 1.5
b1q⁴ = 4b1q²
Если нам удасться выкрутить данную систему, то получим первый член и знменатель, а там уже и до четвёртого члена недалеко.
Второе уравнение можно сократить на b1, получим:
q⁴ = 4q²
Теперь сокращаем на q²:
q² = 4
Отсюда q = 2 или q = -2. Но знаменатель по условию положителен, поэтому q = 2.
Теперь решить систему достаточно нетрудно. Подставим вместо q число 2.
b1(2⁵ — 2³) / (2 — 1) = 1.5
b1(2⁵ — 2³) = 1.5
b1 = 1.5 / 24 = 0.0625
Теперь мы знаем знаменатель и первый член. Очень легко теперь ищется четвёртый:
b4 = b1q³
b4 = 0.0625 * 8 = 0.5
Задача выполнена. Проверить, насколько верно она решена, я не в состоянии, скорее всего так, никак иначе.